香农理论获得突破！

杨学志

香农于1948年发表了“A Mathematical Theory of Communication”一文，代表了信息论的诞生。 在此文当中，香农定义了信息论的基本概念，比如自信息，互信息，熵，微商，以及信息的度量单位bit，并且给出了信道容量的概念。一个AWGN信道

                           Y=X+Z,

其中X,Y,Z分别是复数形式的输入信号，输出信号和高斯白噪声， 其信道容量为

                           C=log(1+S/N),

其中，S为输入信号的功率，N是白噪声功率。

与这个公式伴随的是信道编码定理，意思是说，必定存在一个编码方式，如果速率小于C，则误码率可以任意小。这是香农理论最核心的部分，引导了通信产业的发展。在其指引之下，经过几十年全球科学家的共同探索，终于发明了Turbo，LDPC和Polar码等充分接近香农限的编码，也广泛应用于3G/4G/5G通信系统当中。

但是，香农的工作集中于最简单的AWGN信道，而无线通信当中最普遍的是衰落信道。 因此衰落信道的容量也一直是信息论领域的研究热点。

一个衰落信道可以模型化为
                      Y=GX+Z,

其中G为信道增益。 在目前的理论当中，把衰落信道分为快衰落信道和慢衰落信道。
在快衰落信道当中，信道编码块的长度历经了多个信道相干时间，信道容量被定义为遍历容量。
                        C=\int log(1+|G|^2S/N)dG.

在慢衰落信道当中， 信道编码块的长度远远小于信道的相干时间，因此信道容量被认为是一个取决于信道增益的随机变量。 由于信道增益G可以任意小，因此对于任何一个速率，误码率总是大于零， 因此认为慢衰落信道的严格意义上的信道容量为零。 基于此，发展了中断容量理论 outage capacity。

但是我发现， outage capacity理论是错误的，它根部不是香农意义上的容量。

在信道编码定理当中，证明的方法是产生一个随机码。相应地， 信道和噪声也是随机产生的。 也就是说。 信道和噪声在时域的统计和样本空间相同，也就是说信道是遍历的（ergodic）.也就是说，信道的遍历性是信息论的基本假设。

但是这个隐含的条件长期被信息论学界所忽视，因此试图定义non-ergodic信道的容量，代表作是Verdu的文章“A general formula for channel capacity, IEEE Transactions on Information Theory 40, no. 4 (1994): 1147-1157”。 这篇文章从motivation到basic concept都是错的。


我经过长期的研究， 否定了outage capacity理论， 并提出了统一的衰落信道容量理论。


新的理论指出，总有一个信道信息与用户数据相伴随，并且信道信息与信道的衰落速率成单调增的关系。 这也意味着信道容量可能随信道的说落速率递减。虽然这个结论没能够严格证明， 但是得到了一个渐进递减的结论。虽然在理论上尚需完善，对工程的指导意义已经很充分了。


应该说，这是自信息论诞生以来最重要的进展，没有之一。


目前正在TIT进行第三轮的评审，并公开在ArXiv上 （Capacity of Fading Channels without Channel Side Information）。 欢迎讨论。