Gabor变换

Cuby

[本人通信小白，简单写了自己的理解，第一次写的不好，先已经重新编辑，还请各位前辈多多批评指正，非常感谢！]          1. 背景：傅里叶变换提供了一种信号从时域到频域之间一一映射的有力工具。但是经典傅里叶变换的不足之处在于只能分析信号在时频域的整体特征：从傅里叶变换的公式

可以看出，在获得时域信号全部信息的基础上，通过在整个时域进行积分，反映出时域信号的频谱特性。反过来讲，当时域信号在某个邻域内发生变换时，其对应的信号的频谱特性也会随之发生变换，但是，通过积分后并无法确定时域发生变化的位置和剧烈程度（换言之，积分后细节都被抹平，只知道它曾经在时域发生过变化，但具体细节无法知道）此时，傅里叶变换的局限性（无法获取指定时间段的频谱信息，同时对突变信号的感知能力较弱，不适合处理实际中的非平稳信号）就可见一斑了。

为了解决这一问题，在傅里叶变换的基础上进行改进，如短时傅里叶变换、小波变换，当选取的窗函数不同时，傅里叶变换的性能存在差异；其中当窗函数为高斯函数时，其性能最优，这就是今天的主角——Gabor变换。

2. 简要介绍：Gabor变换短时傅里叶变换或加高斯窗的傅里叶变换，可以理解成是一种限定了范围的提取信号局部特征的时频变换。特别是对于非平稳信号（由于该信号的统计特性随时间变化，研究其局部特征很有意义）的分析与应用具有研究意义。

3. 公式推导（以一维变换信号在时域上的处理公式为例）：

以下公式表示Gabor滤波器在某一局部时间（假设窗函数g(x)的有效宽度为）范围内的频率分量，此时窗函数的宽度越小，该变换对信号的分辨率越高。

当使用高斯函数作为窗函数时，一维Gabor变换可以写成：

4. 参考（以下两份资料都很优质，我在这里抛砖引玉，班门弄斧了，大家可以参考下面的资料）：

1. Gabor变换_老司机的诗和远方的博客-CSDN博客_gabor变换窗口宽度

2. 陈玲. 基于多尺度Gabor小波纹理提取算法研究及应用[D].武汉轻工大学,2019.DOI:10.27776/d.cnki.gwhgy.2019.000133.