从一个新的角度理解傅里叶级数

坡哥

很多原理一旦上升为理论 , 常常伴随着繁杂的数学推导 , 很简单的本质反而被一大堆公式淹没 , 通信原理因此让很多人望而却步。

但是，非常复杂的公式背后很可能隐藏了非常简单的道理。

真正学好通信原理的关键就是要透过公式看到本质。以复傅立叶系数为例：

很多人都只是会套公式计算 , 真正理解其含义的人不多。对于经常出现的“负频率“, 真正理解的人就更少了。

`傅里叶级数展开式:`

$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_ke^{jkw_0t}$$

可以将$f(t)$理解成由一系列复平面中旋转向量相加后的信号(本文拓展部分我们会讲，为什么会把$e^{jkw_0t}$当成旋转向量，理解起来非常简单) , 各旋转向量的初始位置（严格来讲就是$t=0$时刻所在的位置 ) 就是复博立叶系数 $c_k$，因为当$t=0$时，$f(t)=c_k$ 。 画出三维频谱图如下图所示 ：

这个图简单的理解就是，傅里叶变换将时域信号转换成了频域之后，我们都知道，任何一个时域信号都可以分解为无数个正弦信号的叠加，每个切面对应一个正弦信号在复平面的示意图，蓝色箭头表示该信号的初始相位，蓝色箭头的长度表示该信号的幅度。

这图中的x和y轴组成的实际上是复平面，x轴是实部，y轴是虚部，z轴是频率轴
可以看出，当k取不同的值时（0，-1，+1，-2，+2 $.......$），对应三位频谱图中的一个z轴的切面，也就是一个复平面。
而图中蓝色的箭头代表的就是傅里叶变换后的系数，箭头的长度就是傅里叶变换后对应频谱成分信号的幅度，与x轴正半轴的夹角就是该频谱成分信号的初始相位。
参考：
[通信原理 | 最简单直观的理解虚数 j 的物理意义](http://t.csdn.cn/hWQct)

# 课外拓展
## 为什么复指数信号在复平面上是旋转向量
复指数信号在复平面上是旋转向量的原因是由欧拉公式所决定。

欧拉公式是指当自变量为虚数时，指数函数可以表示为一个旋转的单位向量。具体来说，欧拉公式表示为：

e^(jθ) = cos(θ) + j*sin(θ)

其中，e是自然对数的底数，j是虚数单位，θ是角度。根据欧拉公式，指数函数可以表示为一个复数，其实部对应于cos(θ)，虚部对应于sin(θ)。

当θ随时间变化时，复指数信号在复平面上就会表现为一个旋转的向量。旋转的角度和速度取决于θ的变化。

因此，复指数信号在复平面上是旋转向量的性质是源于欧拉公式的结果。这一性质在信号处理、通信系统和电路分析等领域中具有重要的应用。

## 进行傅里叶变换时需要设置什么内容
傅里叶变换是一种将一个信号从时域转换到频域的数学工具。

在进行傅里叶变换时，需要设置以下参数：

采样率（Sampling Rate）：采样率是指在连续时间信号中进行采样的频率，通常以每秒采样点数（样本数）来表示。傅里叶变换需要知道信号在时域中的采样间隔以及采样点的总数，以确保正确的频谱分析。

采样点数（Number of Samples）：采样点数指的是对信号进行采样并在离散时间上进行傅里叶变换时使用的样本数。更多的采样点数将提供更高的频率分辨率，但也需要更多的计算资源。

时域信号（Time Domain Signal）：需要提供待转换的时域信号作为输入。这可以是离散时间信号或连续时间信号，具体取决于傅里叶变换的类型。

除此之外，傅里叶变换还有几个变体和参数选择，例如快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法中的窗函数和补零技术等。这些参数可以根据具体的应用和需求进行选择和调整。

## 采样点数和采样率的关系
采样点数和采样率之间有一定的关系。关系可以通过采样定理来描述。

根据奈奎斯特-香农采样定理：

如果一个信号的最高频率成分（就是上面讲的傅里叶变换系数$c_k$的最大值）为fmax，则信号的采样率（fs）必须大于或等于2倍的fmax，才能避免采样引入的失真和混叠效应。换句话说，采样率必须满足fs ≥ 2*fmax。

采样点数（N）是指在一段时间内对信号进行采样的总次数，可以通过采样率和采样时长来计算。采样点数和采样率的关系可以用以下公式表示：

N = fs * T

其中，N表示采样点数，fs表示采样率，T表示采样时长。

可以看出，采样点数和采样率是通过采样时长相关联的。较高的采样率会导致更多的采样点数，而较低的采样率会导致较少的采样点数。