一个最简单的程序让你理解多径信道

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一个最简单的程序让你理解多径信道

时变、多径是无线信道的特点，相信很多人在看了很多书之后，对无线信道感觉还是一头雾水。为什么多径导致频率选择性？为什么多普勒频移反映了信道的时变性？对这些问题感觉困惑的肯定大有人在。下面我们就用一个简单的不能再简单的程序一一解开你的困惑。

首先，我们先说一下程序模拟的场景。如图1所示。

图1   最简单的多径信道

假设在一条笔直的高速公路上一端安装了一个固定的基站，在另一端有一面完全反射电磁波的墙面，基站距离反射墙的距离为d。移动台距离基站初始距离为r0。基站发射一个频率为f的正弦信号，表示为cos(2*pi*f*t)。由于墙面的反射，移动台可以接收到2径信号，其中之一是从基站直接发射的信号，另一径是从反射墙反射过来的信号。

OK，首先我们来看移动台静止的情况。显然，从基站发出的直射信号到达移动台需要的时间为r0/c（c为光速），从反射墙反射过来的信号到达移动台所需要的时间为(d+d-r0)/c=(2d-r0)/c。换句话说，在时刻t，移动台分别接收到了从时刻(t-r0/c)基站发出的直射信号和从时刻t-(2d-r0)/c基站发出的反射信号。我们知道，信号在传播的过程中要衰减，自由空间中，电磁波功率随距离r按平方规律衰减，相应的电场强度(可以看成接收信号电压)随1/r规律衰减。并且反射信号同直射信号的相位相反。所以，时刻t移动台接收到的合成信号为

E(t)=

减号体现了反射信号与直射信号的相位相反。

在r0处的接收信号会有什么特点？让我们把它画出来。下面是程序代码。

clear all

f=1; %发射信号频率

v=0; %移动台速度，静止情况为0

c=3e8; %电磁波速度，光速

r0=3; %移动台距离基站初始距离

d=10; %基站距离反射墙的距离

t1=0.1:0.0001:10; %时间

E1=cos(2*pi*f*((1-v/c).*t1-r0/c))./(r0+v.*t1);

E2=cos(2*pi*f*((1+v/c)*t1+(r0-2*d)/c))./(2*d-r0-v*t1);

figure

plot(t1,E1) %画出直射径的信号

hold on

plot(t1,-E2,'-g') %画出反射径的信号

hold on

  plot(t1,E1-E2,'-r') %画出移动台总的接收信号。

  legend('直射径信号','反射径信号','移动台接收的合成信号')

  axis([0 10 -0.8 0.8])

运行程序后，结果如图2所示：

图2   r0=3时的直射信号、反射信号与合成信号

其中，蓝色线是直射径的信号，绿色线是反射径的信号，红色线则是移动台接收到的第1径和第2径的合成信号，从图中我们清楚的可以看出，即使移动台是静止的，由于反射径的存在，使得接收到的合成信号最大值要小于直射径的信号。

下面我们改一下移动台距离基站的位置，让r0=9，使它更靠近反射墙的位置，再次运行程序，结果如图3所示：

图3   r0=9时的直射信号、反射信号与合成信号

从图3中可以看出，这次由于靠近反射墙的位置，直射信号要比r0=3处要弱一些，反射信号要比r0=3位置处的信号要强一些，但移动台接收到的合成信号更弱了。不仅要小于直射径的信号更小于反射径的信号。

我们就可以得出这样的结论，即使移动台静止，由于反射径的存在，使接收信号要比没有反射径时的信号弱，衰落由此产生。

且慢，我们在实验中只是发射了单1频率的信号，发射其它频率的信号结果会怎样呢？

我们把修改f=100e6，并且r0=3，结果如图4所示。这时候，由于f太大，因此所有的点都连成了一条直线。但是我们可以看到红线明显的大于蓝色线和绿色线，这说明在f=100e6时，移动台接收到的信号是得到了增强。

图4  f=100e6时的直射信号、反射信号与合成信号

为了更直观的说明，我们把光速c改一下，让c=10，这样改动并不会影响讨论问题的实质，但可以帮助我们更直观的观察。分别让f=1和f=5，画出的图形分别如图5、图6所示：

图5   f=1，c=10时的直射信号、反射信号与合成信号

图6  f=5、c=10时的直射信号、反射信号与合成信号

从结果我们明显可以看出，这次是f=1的信号得到增强，而f=5的信号得到削弱。

我想，到这里，你应该明白频率选择性衰落是怎么回事了。在同一位置，由于反射径信号的存在，发射不同频率的信号时，在接收机处接收到信号有的频率是被增强了，有的频率是被削弱了。频率选择性由此产生。

既然有频率选择性衰落，我们自然会问，哪些频率会被增强，哪些频率会被削弱呢？

在上面的例子中，如果我们让c=3e8，让f=1，2，3…100,…,1000,你会发现这些频率基本上都是被削弱的，只有让f充分大，比如f=100e6，才会看出信号被增强了，那么我们就把那些受到的影响基本一致的频率范围叫做相干带宽。相干带宽如何得到呢？

从我们的实验中可以看出，接收信号是2个频率均为f的电波的叠加，这2个电波的相位差为：

从这个公式中，我们可以看出，对于固定的r，如果f改变，则合成信号从波峰到达波谷，而恰好是反射径与直射径的传播时延之差。如果频率的改变量远小于1/Td，则信号是增强还是削弱并不会出现明显的改变。因此参数1/Td就称为相干带宽。

有了相干带宽的概念，我们再来看平坦衰落与频率选择性衰落。

假设发射的信号带宽较窄，小于相干带宽，我们可以知道，信号的频带内受到的衰落影响基本是一致的。这时称这样的衰落为平坦衰落。学过信号系统的都知道，频带较窄，意味着时域的信号脉冲周期较长，当信号带宽恰好等于相干带宽时，可以近似的认为信号脉冲周期近似等于传播时延之差。此时，当移动台恰好接收到直射径的第2个脉冲时，从反射径到达的第1个脉冲也同时到达，因此合成信号就是直射径的第2个脉冲和反射径的第1个脉冲。看到这里，我们会明白码间干扰是如何产生的了。如果我们增大信号脉冲周期，相应的信号频带变窄，这时码间干扰会变小。也就说反射径第1个脉冲到达时，直射径的第1个脉冲还没有结束。脉冲周期越长，则直射径和反射径的脉冲重合的部分越多，码间干扰就越轻。当脉冲周期远大于时延差时，我们完全可以近似的把直射径的信号与反射径的信号看作是同一径信号。当然，信号的脉冲幅度会发生变化。当我们把更多反射径的信号基本看作同一径信号时，瑞利衰落由此产生。在存在更多反射径的情况下，各个径到达的方向不一样，相位不一样，可以看作服从同一分布的随机变量。由概率论的知识，多个服从同一分布随机变量的和服从高斯分布。由于实际的信号一般是通过I、Q两路传输，因此I路服从高斯分布，Q路服从高斯分布，包络则服从瑞利分布。看看瑞利分布的定义是不是也是这么来的？

上面是讨论了信号脉冲周期大于传播时延的情况，下面再讨论信号脉冲周期小于传播时延的情况。根据时频关系我们可以知道，脉冲周期短，意味着信号频带变宽，大于相干带宽。上面已经说过大于相干带宽后，频率受到的影响是不一样的。所以这时的衰落就是频率选择性衰落。再考虑时域的情况，脉冲周期变短。假设变为1/2传播时延差，当移动台接收到直射径的第3个脉冲时，反射径的第1个脉冲才到达。很明显，反射径的第1个脉冲对直射径的第3个脉冲产生了干扰。这时不能认为直射径和反射径的信号为同一径的信号。当脉冲周期进一步缩短，从而相应的信号频带进一步增大时，频率选择性衰落更加严重。可想而知，在更多反射径存在的情况下，码间干扰将更加严重。

到此，你应该了解了多径信道与瑞利衰落和频率选择性衰落的关系。下面我们再来看信道的时变性。

上面讨论了移动台静止的情况。现在我们让移动台向反射墙运动，速度为v。则在时刻t，移动台距离基站的位置r=r0+v*t。把第1个公式中的r0用r代替：

我们先把接收到的信号随时间变化的关系画出来。程序代码同上面的一样，不过为了让时变性体现的更直观一些，我们让c=10，同时v不再是0，v=1，f=2，d=15，t1=0.1:0.001:12;。运行程序后，你将看到下面的图（图7）：

图7  移动台运动时的直射信号、反射信号与合成信号

我们单独再把接收信号单独画出来。使用命令：

figure;plot(t2,E1-E2,'-r')

结果如图8所示。

图8 移动台运动时的合成信号

我们在前面的程序中，看到了多径导致了频率选择性。当移动台运动起来以后，我们发现即使同一频率，在不同的时间点，合成信号的强度也是不一样的。在图8中，我们可以看到在t=2，4.5，7，9.5s时，接收信号的强度相对处于波谷位置，特别是在t=9.5s时，接收的合成信号几乎为0，而我们对照一下t=9.5s时的直射信号和反射信号，它们都比合成信号大很多。而在t=3，5.5，8，10.5位置，接收信号的强度相对处于波峰位置。这种由于移动台运动而导致的信号增强或削弱的情况就是时间选择性衰落。运动为什么会产生时间选择性衰落呢？

我们来看第2个公式。第1项直射波是频率为f(1-v/c)的正弦波，经历的多普勒频移为：；第2项是频率为f(1+v/c)的正弦波，经历的多普勒频移为：，参数

称为多普勒扩展。例如在上面的程序中，f=2,v=1,c=10,所以Ds=0.4。当移动台与反射墙的距离比与发射天线的距离更近时，最容易观察到多普勒扩展的作用。在这种情况下，2条路径的衰减大致相同，从而可以用r=r0+vt近似公式中第2项的分母，于是合并2个正弦信号后得到：

这是2个正弦信号的乘积，其中1个信号的输入频率为f，通常为GHz数量级，另一个信号频率是fv/c=Ds/2，因此对频率为f的正弦信号的响应是另一个频率为f的正弦信号，该正弦信号具有时变包络，每隔2.5s就从波谷变到波峰再变到波谷。当移动台处于波峰位置时，接收到的信号得到增强，而在波谷位置时，信号得到衰减。现在可以明白，为什么可以部分的忽略第2个公式中的分母项。当2条路径长度之差变化1/4波长时，这2条路径的响应信号的相位差改变pi/2，从而导致总的接收幅度出现非常严重的变化。由于载波波长相对于路径长度非常小，所以由这种相位效应导致幅度严重变化的时间远远小于由分母项导致幅度严重变化的时间。以图7为例，在t=9.5到t=12的这段时间内，我们可以看到直射信号和反射信号幅度没有发生很大变化，但是由于直射信号和反射信号相位的改变导致了接收到的合成信号幅度发生严重起伏。因此在t=9.5到t=12的这段时间内，我们可以认为公式2中的分母是恒定的。

我们再来看图8，虽然从t=9.5到t=12时，接收信号幅度经历了从波谷到波峰再到波谷的转变，但是，如果我们观察t=10.5到t=11.5这段时间内，可以发现，信号幅度基本也是不变的。我们就把信道基本保持不变的时间段称为信道的相干时间()。到这里，我想你应该明白为什么信道的相干时间与多普勒频移有关，多普勒越大，信道的相干时间就越短。我们可以让f=4，再次运行程序，结果如图9所示。这次你会发现，合成信号包络变化更快了，信道的相干时间也相应的变小。相干时间只是说信道在这段时间内特性基本不变。至于这段时间内是增强信号还是消弱信号则没有体现。

图9 f=4时的合成信号

我们知道，在数字通信中，接收端是周期性的对接收符号进行判决从而恢复信息的，1个符号脉冲的周期可大可小，因此根据相干时间与符号脉冲周期的相对长短，我们可以把信道分为慢变信道和快变信道。比如在图8中，如果发送符号的周期小于1.25s，我们就可以认为这是慢变信道（或者准静态信道）如果发送符号周期大于1.25s，在发送符号的过程中，信道特性发生了显著变化，我们就认为这是快变信道。所以信道的快变还是慢变也是相对于发送符号的周期长短来说的。

至此，我们讨论了信道的时变性，结合前面讨论的频率选择性，无线信道大体可以分为4种：慢变瑞利衰落信道、快变瑞利衰落信道、慢变频率选择性信道、快变频率选择性信道。

好了，我们的课到此暂告一段落，希望你看了之后能解开你的疑惑！Good Luck！^_^。

因为实信号以fs为采样速率的信号在 fs/2 处混叠，所以实信号fft的结果中前半部分对应[0, fs/2],后半部分对应[ -fs/2, 0]

1）实信号fft的结果前半部分对应[0, fs/2]是正频率的结果,后半部分对应[ -fs/2, 0]是负频率的结果。大于fs/2的部分的频谱实际上是实信号的负频率加fs的结果。故要得到正确的结果，只需将视在频率减去fs即可得到频谱对应的真实负频率

2）如果要让实信号fft的结果与[-fs/2, fs/2]对应，则要fft后fftshift一下即可，fftshift的操作是将fft结果以fs/2为中心左右互换

3）如果实信号fft的绘图频率f从[-fs/2, fs/2]，并且没有fftshift，则fft正频谱对应f在[0, fs/2]的结果将混叠到(f - fs/2)的位置;

fft负频谱对应f在[-fs/2, 0]的结果混叠到 f + fs - fs/2 的位置，注意这里f为负值，也就是说此种情况下fft负频谱对应的视在频率减去fs/2即可得到频谱对应的真实负频率

二. 复信号情况

1）复信号没有负频率，以fs为采样速率的信号，fft的频谱结果是从[0, fs]的。 2）在 f > fs/2 时，对复信号的fft结果进行fftshift会产生频率混叠(将下面的示例2中的频率从f=15改为f=85可以验证f=85的谱线在fftshift后跑到 f = -15 = 85 - fs = 85 - 100的位置了)，所以复信号也一般要求 f <= fs/2

3）在对雷达的慢时间维(复信号)进行fft后，由于要用doppler = ((0FFT-1)/LFFT -

0.5)*PRF; 计算多普勒频率，所以对该慢时间信号fft后要fftshift下，以便和正确的频率单元相对应。注意多普勒频率fd < = PRF/2 时才测的准！