哥德尔定理的逻辑错误

杨学志

哥德尔定理，从我看到它的第一眼，就觉得是不对的。 开始是一种感觉，认知逐步发展深入并最终确认，是一个过程。

这篇文章，假定哥德尔定理是正确的，但是什么用也没有：

哥德尔不完备定理有没有什么深刻的哲学意义? - 杨学志的回答 - 知乎

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这篇文章，已经找到了哥德尔的错误。哥德尔构造的自指性命题G，是价值论命题，而不是认识论命题。也就是说，G不是公理系统内的命题。这篇文章假定哥德尔的构造过程是正确的。

哥德尔不完备定理的证明存在极其隐晦的错误！ - 杨学志的文章 - 知乎

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然而，我早就在此文当中指出，自指是一种逻辑错误，哥德尔构造的自指命题也是逻辑错误。

解决说谎者悖论，为逻辑正名 - 杨学志的文章 - 知乎

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但是，我当时还没有仔细查错误在哪里。这几天写文章，经过仔细思考，终于找到了哥德尔的具体的逻辑错误。不了解哥德尔定理的证明过程的，首先要阅读此文，本文就不再重复这些基础知识了。

如何简单清晰地解释哥德尔不完备定理？

@叶青杰

的回答 - 知乎
[color=inherit !important]如何简单清晰地解释哥德尔不完备定理？2833 赞同 · 157 评论回答2834 赞同 · 158 评论回答

哥德尔是这样证明的：

• 是一段论述的哥德尔数，
• 构造元数学语句“无法证明哥德尔数为的公式”， 并假设它的哥德尔数为，
• 再构造一个语句：“无法证明哥德尔数为的公式”，
• 发现，就是 ，所以就成了：“无法证明”，形式化地构造出一个自指命题。
  

第4步是这样解释的：

译者注：这又是一个难点。我们更仔细的叙述如何计算 。回忆我们前面的注，我们的第一步就是要解码 所对应的公式。根据前文，我们知道这对应了语句“无法证明哥德尔数为 的公式”。第二步，我们要找到17所对应的符号，也就是 的所有位置，我们将找到的位置加个框：“无法证明哥德尔数为 的公式“。第三步，我们要把框的位置替换成 ，也就是“无法证明哥德尔数为 的公式“，而这正是公式 。

但是这里面有逻辑错误。

的操作是：

• 展开 得到：无法证明哥德尔数为 的公式，
• 找到哥德尔数为17的字符，也就是字符‘ ’，并替换成 。
  

错误就发生在这一步。 这里的，并不是字符 ‘ ’，而是一个命题的哥德尔数，有类似于这样的形式，这里面并没有字符 ‘’ 。哥德尔在这一步发生了概念混淆。

一句话在没有说完之前，这句话是什么还没有确定。按照正确的逻辑不可能构造出自指命题。

据说冯诺依曼看到哥德尔的证明，屡次宣称哥德尔的证明是错误的，但是最终被哥德尔说服了，于是哥德尔定理成了人类最高的智力成果。 我也不知道冯诺依曼怎么就被说服了。

哥德尔是幸运的。别人都是死后成果才被承认，哥德尔很年轻就凭借一个错误的结果，获得与爱因斯坦并列的地位。

然而他的人生以悲剧收场。他的夫人去世后，他怀疑别人会给他下毒而不吃饭，饥饿而死。

也是可叹。