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标题: 【原创连载】高等数学从入门到精通（2024年8月9日开贴） [查看完整版帖子] [打印本页]
时间: 2024-8-9 17:11
作者: 畅翔未来
标题: 【原创连载】高等数学从入门到精通（2024年8月9日开贴）
从零开始了解到了线性代数、微积分、泰勒级数、傅里叶级数等等。精通高等数学，是看懂线性代数、傅里叶级数应用的前提条件。
后续再一边调整章节名章节数和整理内容，一边一小节一小节发表在论坛上。
书中使用绘制软件：Photoshop、Origin2018、CorelDRAW。
使用数据计算软件：Excel、Python3.8。
第一部分，线性代数
第1章 抽象的事物 9
第2章 向量 10
2.1 向量的三种视角 10
2.1.1 物理学视角 10
2.1.2 计算机学视角 11
2.1.3 数学视角 14
2.1.5 在向量空间中引入坐标系 15
2.1.6 向量的起点 17
2.2 空间中的有限运动之向量的移动运动，向量加法 18
2.2.1 单个向量的移动运动 18
2.2.2 两个向量的复合移动运动 19
2.3 空间中的有限运动之向量的缩放、反向运动，向量数乘 25
2.3.1 向量在向量空间中缩放运动 25
2.3.2 向量在向量空间中旋转或反向运动 27
2.4 向量的两种表示方式对比 28
第3章 向量的线性组合、基与线性相关 29
3.1 基向量 29
3.2 i帽、j帽写法的特殊性 33
3.4 二维空间中，非直角坐标系的基向量选取 36
3.5 非单位长度的一组向量做基向量 37
3.5.1 两个非单位长度基向量相互垂直 37
3.5.2 两个非单位长度基向量夹任意角 39
3.6.4 两个基向量都为零向量 46
3.7 把向量以终点看作点 47
3.8 基向量组的线性组合张成的空间 47
3.10 推广普适，基的严格定义 50
第4章 矩阵与线性变换 51
4.2 线性变换的运动形式 55
4.3 坐标系的选用 59
4.4 矩阵的写法 61
4.5 矩阵对原空间向量集合的变换 62
4.6 向量乘矩阵代数式 62
4.7 矩阵对空间的操纵 63
4.7.1 矩阵对二维空间的操纵 63
4.7.2 矩阵对三维空间的操纵 71
4.7.3 矩阵对更高维空间的操纵 74
第5章 矩阵乘法与线性变换复合 75
第6章 三维空间中的线性变换 80
第7章 行列式 82
7.1 行列式是一个比例值 83
7.2 行列式的计算方法 84
7.3 行列式值的几何意义 87
7.4 计算三维空间行列式 88
8.2.2 在三维向量空间中 98
8.3 秩 100
8.3.1 行列式为零时的秩 100
8.3.2 行列式不为零时的秩 104
8.3.3 矩阵在线性方程组中的应用 105
第9章 非方阵 106
9.1 非方阵的几何意义 106
9.2 非方阵满足线性变换的规定 107
9.3 非方阵与矩阵的区别 107
9.3.1 非方阵的行数大于输入向量的空间维数 107
9.3.2 非方阵的行数小于输入向量的空间维数 115
9.4 非方阵对空间的映射 116
9.4.1 非方阵对空间的升维映射过程 116
9.4.2 非方阵对空间的降维映射 119
9.4.3 非方阵对空间向量集合的降维映射与空间向量投影的关系 121
第10 章 向量点积 123
10.1 两个向量互相投影的几何意义 124
10.1.1 模长相同向量点积 124
10.1.2 模长不同向量点积 127
10.2 从线性变换角度理解两个向量的点积 129
10.2.1 基向量的投影 130
10.2.2 任意向量的投影 132
10.2.3 任意向量在非单位基向量上的投影 135
10.2.4 高维空间降一维 138
第11章 余弦相似度简单计算 139
11.1 两点之间的相似度计算 139
11.1.1 向量的长度计算 140
11.1.2 计算余弦相似度 142
11.1.3 高维空间余弦相似度计算 144
11.2 矩阵计算相似度 145
11.2.1 矩阵的列向量之间计算余弦相似度 145
第12章 克莱姆法则 147
12.1克莱姆法则解线性方程组的两条限定条件 148
12.1.1 方程个数与未知数个数要相等 148
12.1.2 系数矩阵的行列式不为零 149
12.2 线性变换前后，点积结果相同的思想 150
12.2.1 二维空间中，两个向量的点积结果 150
12.2.2 求解线性方程组 154
12.3 点积的另一种几何解释 159
12.3.1 二维空间中的非正交矩阵 159
12.3.2 应用结论 164
12.3.3 更高维的情况 176
第13章 高斯消元法 176
第14章 向量叉积 190
14.1 二维空间中，向量的叉积 191
14.1.1 二维空间中，向量的叉积定义 191
14.1.2 二维空间中，向量的叉积的常见性质 192
14.2 三维空间中，向量的叉积 193
14.2.1 三维空间中，向量的叉积的定义 193
14.2.2 叉积公式的由来 194
14.3 叉积的应用 201
第15章 坐标系中的基向量 201
15.1 选取标量缩放的对象 202
15.1.1 单位基向量 202
15.1.2 任意基向量 202
15.2 坐标系之间的转换，基变换 203
15.2.1 将第二种坐标系中的向量转换到第一种坐标系 203
15.2.2 将第一种坐标系中的向量转换到第二种坐标系 204
15.3 两种坐标系中各自线性变换的对应关系 206
第16章 特征向量与特征值 207
16.1 同时处于两种坐标系中的向量 208
16.1.1 二维空间中的特征向量与特征值 208
16.1.2 三维空间中的特征向量与特征值 209
16.1.3 计算特征值和特征向量 209
16.2 特征基与对角矩阵 218
16.2.1 特征基与对角矩阵介绍 218
16.2.2 对角矩阵的应用 220
16.2.3 计算非对角矩阵的幂次 221
16.3 计算二阶矩阵的特征值 225
16.3.1 特征值平均值 225
16.3.2 特征值与行列式 226
16.3.3 平均值与乘积值推导特征值 226
第17章 抽象向量空间 229
17.1 抽象向量 230
17.1.1广义的向量 230
17.1.2 具有向量特性的事物 230
17.2 微积分中求导与线性变换的关系 232
17.2.1 线性的严格定义 232
17.2.2 函数求导的可加性和成比例 233
17.3.1 向量可加性和成比例遵守的规则 240
第二部分，微积分
第18章 函数的简单介绍 242
18.1 符号介绍 242
18.1.1 希腊字母简介 242
18.1.2 英文介绍 246
18.1.3 文言文介绍 247
18.1.4 替代写法介绍 248
18.2 函数介绍 249
18.1.2 数学函数与计算机编程函数对比 249
18.2.3 基本初等函数 259
18.2.4 简单函数 259
18.2.5 迭代函数 259
第19章 极限 263
19.1.2 曲线的逼近值 268
19.1.3 极限定义的导数 278
19.2.1 逼近 280
19.2.2 新函数的极限存在 281
19.2.2 新函数的极限不存在 283
19.2.3 普通函数的极限 286
19.2.5 导数的辈分关系 289
第20章 微分与积分 290
20.1 积分与导数的关系 292
20.1.1 黎曼和与积分 292
20.1.2 积分与导数 298
第21章 各种求导 306
21.1 几何方法求导 307
21.1.1 幂函数求导 307
21.1.2 三角函数求导 315
21.2 链式法则 319
21.2.1 两个函数相加后求导 319
21.2.2 两个函数相乘后求导 322
21.2.3 两个函数复合后求导 324
21.2.4 洛必达法则 325
21.3 指数函数求导 332
21.3.1 对数的发现 332
21.4 隐函数求导 352
第22章 各种积分 357
22.1 积分的辈分关系 358
22.2 以输入值范围确定积分名 359
22.2.1 输入值范围有限的积分名 359
22.2.2 输入值范围无限的积分名 360
22.3 对没有函数体的事物积分 360
22.3.1 梯形逼近法 361
22.3.2 抛物线逼近法 363
22.4 对环形向量积分 367
22.4.1 积分求质心 367
22.5使用定积分描述链式法则 367
第24章 微分方程 382
24.1 欧拉公式 382
24.1.1 圆半径的多种表达方式 382
24.1.2 复指数在复平面的映射 385
24.1.3 对环形复向量积分 389
24.2 常微分方程 390
24.2.1 有函数体的常微分方程 391
24.2.2 无函数体的常微分方程 393
24.3 偏微分方程 404
24.3.1 热传导方程 404
24.4 傅里叶级数 419
24.4.1 原版傅里叶级数 419
24.4.2 原版万能曲线模拟器 421
24.4.3 从天文学到扩展版傅里叶级数 450
24.5 复傅里叶变换 528
24.5.1 对有函数体的函数进行复傅里叶变换 530
24.5.2 对没有函数体的函数进行复傅里叶变换 547
24.5.3 拉普拉斯变换 554
第25章 自然数e的矩阵幂次 565
25.1 一维实数幂次 565
25.2 二维实数幂次 566
25.2.1 二维实数矩阵幂次 566
25.2.2 相同操作的虚数 574
25.2.3 使用泰勒级数验证收敛性 575
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小节更新记录。
2024年8月9日更新小节：
书中以空间中运动定义向量运算，不摆定义不摆公式，轻松理解。
以空间中运动介绍线性代数入门。这种介绍方法全网极为罕见。
3.6 向量空间里的线性组合 41
3.6.1 只改变一个基向量 42
3.6.2 两个基向量都改变 43
3.6.3 两个基向量共线 45
3.9 线性有关与线性无关 49
3.9.1 线性相关 49
3.9.2 线性无关 50
通俗讲述“线性”的含义，从零开始理解线性代数。介绍“线性”的含义。这种介绍方法全网极为罕见。
介绍线性变换严格的规定，是安全使用线性变换的前提。
介绍出线性变换的规定。这种介绍方法全网极为罕见。
第8章 逆矩阵、列空间、秩与零空间 88
8.1 逆矩阵 89
8.2 线性方程组是否有解 96
8.2.1 行列式为0与矩阵的关系 96
引入方程组，并阐明方程组只是向量的一种书写形式。
很多人都知道方程组和向量有关联，但不知道具体是怎么关联的。介绍了为何在方程组前加“线性”二字，以及如何使用矩阵求解方程组。
17.2.3 函数空间 234
17.3 向量空间的定义 240
广义的向量，讲述函数也是向量。
介绍了世间万物皆可为向量，也是为什么很多复杂的方程带有“线性”“算子”字眼的原因。这种介绍方法全网极为罕见。
19.1 极限与导数 264
19.1.1 曲线的弯曲程度 264
介绍极限的由来。
全网首次提出了“曲线的弯曲程度”的概念。
19.2.4 求导是线性变换 287明确指出高等数学中求导是线性变换，这一概念也始终贯穿微积分。
21.3.2 指数函数求导 337
详细介绍自然数的由来，主要讲述什么是比例常数，如何使用任意常数底数来描述其它指数函数。
数学中为什么很多公式中都含有e指数函数？是因为即便有常数底数的指数函数，也全部通过“比例常数”统一改写为了e指数函数。这种介绍方法全网极为罕见。
2024年8月10日更新小节：
全网首次提出了泰勒级数为曲线单点位模拟器，介绍了“求导点”的概念，介绍如何指定任意求导点。
一般的泰勒级数展开介绍的求导点都是在x=0处，作者认为这样的泰勒级数展开并不能用于去证明其它公式定理，只能用于验证其它公式定理的收敛性验证。
作者认为“展开”一词没有“模拟”一词表达的更准确，采用“泰勒级数模拟”来代替“泰勒级数展开”的表述。
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时间: 2024-8-9 18:43
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时间: 2024-8-9 18:45
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时间: 2024-8-10 00:59
作者: 畅翔未来
小节更新记录。
2024年8月9日更新小节：
书中以空间中运动定义向量运算，不摆定义不摆公式，轻松理解。
3.6 向量空间里的线性组合 41
3.6.1 只改变一个基向量 42
3.6.2 两个基向量都改变 43
3.6.3 两个基向量共线 45
3.9 线性有关与线性无关 49
3.9.1 线性相关 49
3.9.2 线性无关 50
通俗讲述“线性”的含义，从零开始理解线性代数。
介绍线性变换严格的规定，是安全使用线性变换的前提。
第8章 逆矩阵、列空间、秩与零空间 88
8.1 逆矩阵 89
8.2 线性方程组是否有解 96
8.2.1 行列式为0与矩阵的关系 96
引入方程组，并阐明方程组就是向量的一种书写形式。
17.2.3 函数空间 234
17.3 向量空间的定义 240
广义的向量，讲述函数也是向量。
19.1 极限与导数 264
19.1.1 曲线的弯曲程度 264
介绍极限的由来。
21.3.2 指数函数求导 337
详细介绍自然数的由来，主要讲述什么是比例常数，如何使用任意常数底数来描述其它指数函数。
时间: 2024-8-10 08:19
作者: 畅翔未来
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时间: 2024-8-10 11:30
作者: 畅翔未来
内容提前讲：
24.1 欧拉公式
介绍的欧拉公式并不是单纯讲公式，简单介绍一下虚数表示旋转。而是综合了复变函数、投影、映射、运动等知识点，从零开始梳理出了欧拉公式的来龙去脉、与复数之间的换算方法。
时间: 2024-8-10 11:36
作者: 畅翔未来
本帖最后由 畅翔未来 于 2024-8-10 11:37 编辑
内容提前介绍：
24.4 傅里叶级数
并不是摆公式讲应用，而是从两条路详细讲解了傅里叶级数的产生、演变、分化、应用。
第一条路：从热力学到傅里叶级数。
第二条路：从天文学到傅里叶级数。
通过文字和大量二维、三维图片，详述了每个参数的由来及演变过程。附带python编程实现源码。
时间: 2024-8-13 12:02
作者: george_deng
时间: 2024-8-14 07:15
作者: 777888999
时间: 2024-8-14 17:42
作者: a3kingbo
时间: 2024-8-17 15:13
作者: 畅翔未来
本帖最后由 畅翔未来 于 2024-8-17 15:14 编辑
家人们，本书线性代数篇，主要是研究了麻省理工学院的线性代数课程和国内外一些优秀数学博主，然后写成的。
但是，最近发现国内也有少数博主研究了麻省理工学院的线性代数课程，写成了书。现在感觉本书线性代数篇，已经晚人一步了。
唯一区别是，本书采用了口语化叙述。
时间: 2024-8-17 15:18
作者: 畅翔未来
家人们，微积分在国内外已经有足够讲得透彻的教材了。
本书微积分篇，前半部分主要是为后半部分做知识铺垫的。
目前全网暂未发现有博主在发表过本书微积分篇后半部分的相同或相似内容，本书封面图形为傅里叶级数绘制。
时间: 2024-8-17 17:22
作者: 畅翔未来
线性代数篇
第1章 抽象的事物在计算机领域，everything is file，一切皆文件。
例1，在电脑上插入一个新优盘。
电脑的操作系统会自动为优盘安装一个驱动程序，该驱动程序将优盘描述为一个名为“可移动磁盘”的文件呈现给操作系统。在电脑上打开可移动磁盘文件，可对优盘中的数据进行读写。
这个过程中，操作系统通过驱动程序，将实物优盘抽象为了，一个名为可移动磁盘的可以进行数据读写的文件。而操作系统对该抽象文件进行的任何数据读写，都将会真实的读写进实物优盘中。
当实物被抽象为文件后，真正赋予抽象的文件的意义的是，在抽象层面（非具体优盘实物），文件可以被计算机进行读写操作，可以被其它软件操作，例如被杀毒软件扫描查杀。抽象的文件已经完全可以脱离它原先指代的事物，超越其指代的具体事物而自成一个体系，有使它有意义的完善的关于文件的所有操作。这些操作可以理解为，是计算机理论中制定的关于文件的抽象制度。
在金融领域，everything can be securitized，一切资产皆可证券化。
例2，某银行贷款30年年化5.8%，某人贷款100万购房，需支付利息110万，总还款210万。
银行随后将这张210万的借条，以150万卖给其它金融公司，进行融资。银行回本100万，赚50万。银行重复该操作，赚取更多的50万。
金融公司花80亿，从银行买够价值100亿的借条，打包为天使发展基金，标注低风险，年化2.8%，在市场上售卖。金融公司回本80亿，赚20亿，从中拿出10亿，用于后续支付客户年化2.8%的利息。金融公司重复该操作，赚取更多的10亿。
整个资本运作的过程中，价值100万的房子为固定资产，价值210万的借条为稳定的、可预期的现金流。金融公司将100亿的借条打包为天使发展基金，即为资产证券化。
当资产被抽象为证券后，真正赋予抽象的证券的意义的是，在抽象层面（非具体借条），证券可以在证券市场上进行多种形式的买卖。抽象的证券已经完全可以脱离它原先指代的事物，超越其指代的具体事物而自成一个体系，有使它有意义的完善的关于证券的监管、各种形式的买卖运作方式。这些运作方式可以理解为，是证券市场中制定的关于证券的抽象制度。
在数学领域，很多事物都可以进行归纳抽象。
例3，5个苹果、5张卡片、5部手机等等，这些实物均可以在数学中抽象为数字5。
只看这个数字并没有什么特别，真正赋予它意义的是，在抽象层面上（非具体实物），数字可以与其它数字相加、相乘、相除等等。抽象的数字已经完全可以脱离它原先指代的事物，超越其指代的具体事物而自成一个体系，有使它有意义的完善的关于数字的运算法则。这些运算法则可以理解为，是数学中制定的关于数字的抽象制度。
甚至有时候，只计算抽象事物，比计算它所实际表示的实物更方便。
将某类事物归纳抽象为具有普适性的定义，是数学家们经常要做的事。但跳过过程、缺少学习抽象定义具体指代的至少一种事物，直接硬记抽象的定义，往往会感觉数学异常复杂难学。手握真理，却一无是处。
线性代数是对图片、数据、猫、狗、函数、空间等 事物，通用的抽象描述。抽象的线性代数定义，也可以套用在任何符合线性代数定义的事物上。当然，线性代数也仅是描述这些事物的一种方法之一，还可以使用拓扑图（大多用于神经网络图）、时间顺序来抽象描述。
时间: 2024-8-20 15:49
作者: 通信搬砖人
666
时间: 2024-8-28 14:30
作者: soarman
本帖最后由 soarman 于 2024-8-28 14:31 编辑
也介绍点数学符号，公式的读法，这个对初学者或复习者也很有用，这才是口语化。
时间: 2024-12-1 20:53
作者: 畅翔未来
soarman 发表于 2024-8-28 14:30 
也介绍点数学符号，公式的读法，这个对初学者或复习者也很有用，这才是口语化。
有的。
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时间: 2024-12-1 20:55
作者: 畅翔未来
微积分篇以牛顿等科学家们发明微积分为分水岭，数学发展到可以对连续性事物进行描述，而不再只精确计算离散事物。使用描述性公式语言对连续性事物进行计算，是人类花了几千年的时间才有的进步。
在微积分篇，数学语言描述；不仅可以对离散型事物进行描述，更是可以对连续性事物进行描述。微积分起始于对一个限度、极限的描述。
第18章 函数的简单介绍根据约翰﹒冯﹒诺依曼（John von Neumann）提出的计算机基本原理，将计算机划分为运算器、控制器、存储器、输入设备、输出设备。本书提及的数学函数，也采用了该划分方法。
在函数的世界里，一切皆输入与输出，everything is input and output。
18.1 符号介绍在数学语言中，一般使用希腊文、英文、文言文三种语言，组合来描述数学文字和公式。因此，掌握这三种语言常用的字、词、句的含义是十分必要的。数学公式力求简练而非简洁，即数学公式并非符号越少越好，或者干脆去掉一些符号和文字到达简洁的目的。数学公式应尽量体现出其所描述的含义。
18.1.1 希腊字母简介希腊字母是中世纪天主教会的官方语言。天主教会继承了罗马帝国的语言希腊字母。笼统地说，今天的法语、意大利语和西班牙语都是希腊字母族的，日耳曼语族的英语也渗入了大量希腊字母。
那时欧洲的大学里的课程，基本上都是为培养神职人员而开设的。所以多半是用希腊字母讲授的，文学、医学、科学等著作和教科书也多是用希腊文书写。特别是一些术语和名词，在各个学科专业，仍然沿用至今。
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时间: 2024-12-1 21:01
作者: 畅翔未来
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时间: 2024-12-1 21:01
作者: 畅翔未来
18.1.3 文言文介绍函：同含；盒子，装信件的盒子。
数：未知数。
函数：英文，function。我国清单数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译作“函数”。函数，一个符号中装有另一个未知数。function一词本身有函数、功能、方法、作用的含义。函数一词也可理解为，方法、功能之意。
算子：英文，operator。operator一词本身有操作员的含义。函数、变换、算子，三个词所表达的含义相同，只是使用场景不同。变换一词强调运动过程，大多使用在线性代数中；算子一词强调操作性，大多使用在微分方程等场景中；函数一词强调了一种方法，在所有场景均可使用。
方：并、并列的意思。如将两条船并起来，船头栓在一起，称为方。
程：转义为单位长度，一寸的百分之一；列出等式之意；也有意为使用算筹（使用小棒十进制计数）列出竖式的意思。
方程：英文，equation。方程一词出自《九章算术》卷第八，沿用至今。方程，翻译为并列列出等式。一般有几个未知数就列几个等式。
幂：文言文中通常指盖东西的长方形布巾。三国时期刘激为《九章算术·方田》作注时，将幂的含义引申为长方形的面积之意。
明代徐光启翻译《几何原本》时，将幂的含义由长方形的面积引申为相同的数相乘。
元：源于宋朝前后的“天元术”，意为未知数。天元术是古代数学家发明的一种利用未知数列方程的一般方法。
勾三股四弦五：出自《周髀算经》，西方一般叫毕达哥拉斯定理。
勾，意为直角三角形的短直角边；
股，意为直角三角形的长直角边；
弦，意为直角三角形的斜边。
勾股定理为直角三角形中两条直角边各自围成的正方形面积之和等于斜边围成的正方形的面积。
数学语言中，令、设、由、则等等各种词，也多来自于文言文，此处不再一一列举。
几何图形替代写法等等，略。
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